Родился 12 марта 1982 года в городе Харькове
Богач имеет высшее образование. Закончил Харьковский национальный аэрокосмический университет имени Жуковского, где получил профессию инженера-авиатора.
С 2007 года Алексей Богач работает в КП "Жилкомсервис"
Был депутатом городского совета от партии "Вече"
Был начальником управления по контролю обслуживания жилого фонда КП «Жилкомсервис», после чего стал замдиректора предприятия.